При построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы:
- непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения - уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. );
- дискретно-детерминированный (конечные автоматы); Конечный автомат — абстрактный автомат без выходного потока, число возможных состояний которого конечно. Результат работы автомата определяется по его конечному состоянию.
- дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); устройство или система, в которых переход из одного состояния в другое происходит в зависимости от случайных входных сигналов или в зависимости от последовательности предыдущих состояний.
- непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); система, которая производит обслуживание поступающих в неё требований.
- обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).
Типовые схемы моделирования:
D-схемы (непрерывно-детерминированные)
Отражают динамику изучаемой системы, т.е. ее поведение во времени.
Диф. Уравнения.
Применяются в СМО для изучения режимов их работы.
F-схемы (дискретно-детерм т.е. конечные автоматы)
В качестве математического моделирования используются используется теория автоматов – раздел теоретической кибернетики в котором изучаются математические модели – автоматы.
Под автоматом понимают устройства, которые перерабатывают дискретную информацию и меняют свое внутреннее состояние лишь в допустиные моменты времени.
Абстрактный дискретный автомат описывается следующими элементами:
- Конечное множество X входных сигналов
- Конечное множество Y выходных сигналов
- Конечное множество Z внутренних состояний автомата.
- Z0 – начальное состояние автомата
- Функции перехода y(z,x) –зависимость состояний автомата от входных сигналов
- Функции выхода Ψ(y,z) – зависимость состояний автомата от выходных значений.
Существуют 2 разновидности конечного автомата:
- Милли
- Мура
Любая вычислительная машина может быть представлена с помощью теории автоматов, т.к. она перерабатывает дискретную информацию.
Способы задания автоматов: Табличный и в виде графа.
P-схемы(дискр-стохастич т.е. вероятностные автоматы)
Используется теория конечных автоматов, но под влиянием случайных факторов. Такой автомат называется вероятностным. Для разработки таких автоматов применяют теорию статистики и теорию вероятностей.
Q-схемы (непрерывно-стохастич т.е. СМО)
Основным понятием СМО является заявка на обслуживание, которая появляется в случайные моменты времени. В этом процессе выделены 2 составляющих:
- 1. Ожидание обслуживания заявки
- 2. Обслуживание заявки.
N-схемы (сети Петри)
Математический аппарат для моделирования динамических дискретных систем. Часто приходится решать задачи, с анализом причинно-следственных связей, где одновременно протекают параллельно несколько процессов. Наиболее распространенные теории, которые описывают поведение таких объектов это: сети петри и баесовские сети доверия.
Сеть Петри представляет собой двудольный ориентированный граф, состоящий из вершин двух типов — позиций и переходов, соединённых между собой дугами. Вершины одного типа не могут быть соединены непосредственно. В позициях могут размещаться метки (маркеры), способные перемещаться по сети.
Событием называют срабатывание перехода, при котором метки из входных позиций этого перехода перемещаются в выходные позиции. События происходят мгновенно, либо разновременно, при выполнении некоторых условий.
Рис. Пример сети Петри. Белыми кружками обозначены позиции, полосками — переходы, чёрными кружками — метки.
A-схемы (агрегативные системы т.е. обобщенные модели)
При агрегативном описании сложный объект (система) разбивается на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодействие. Если некоторые из полученных подсистем оказываются в свою очередь еще достаточно сложными, то процесс их разбиения продолжается до тех пор> пока не образуются подсистемы, которые в условиях рассматриваемой задачи моделирования могут считаться удобными для математического описания. В результате такой декомпозиции сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней.
В качестве простейшего понятия выступает агрегат, а связь между агрегаторами осуществляется с помощью оператора сопряжения